Diagonalisierung
Schöne Idee: Wenn A genug Eigenvektoren hat (= n linear unabhängige), kann man sie als neue Basis nehmen. In dieser Basis wirkt A wie eine Diagonalmatrix. Diagonalmatrizen sind super einfach — Potenzen, Exponentiale, alles trivial.
Diagonalisierung
A ∈ ℝⁿˣⁿ heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D gibt mit:
A = S · D · S⁻¹Dabei: Spalten von S = Eigenvektoren von A. Diagonale von D = Eigenwerte.
Wann diagonalisierbar?
- Genau dann, wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren hat.
- Hinreichend (nicht notwendig): A hat n verschiedene Eigenwerte.
- Symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar (sogar mit ONB).
- Scherung ((1,1),(0,1)) ist nicht diagonalisierbar (nur 1 Eigenvektor).
Was bringt das?
- Aⁿ leicht: Aⁿ = SDⁿS⁻¹, und Dⁿ ist trivial (jeden Diagonaleintrag potenzieren).
- Matrix-Exponential e^A: für DGL-Systeme — analog mit S, e^D, S⁻¹.
- PCA, SVD, Spektralzerlegung: Diagonalisierung ist die Basis fast aller Numerik.
SpektralsatzJede symmetrische Matrix A = Aᵀ ist orthogonal diagonalisierbar: A = Q D Qᵀ mit Q orthogonal (QᵀQ = I) und D Diagonal. Eigenwerte sind dann reell. Ein Schlüsselresultat der LinAlg.