Rundungsfehler & numerische Stabilität
Maschinenzahl: Computer rechnen in IEEE 754 — meist 64-Bit double mit ε ≈ 2.2 · 10⁻¹⁶. Jede Operation kann einen relativen Fehler von ε produzieren.
Auslöschung — der gefährlichste Fehler
Subtraktion fast gleicher Zahlen verliert dramatisch Stellen. Beispiel: bei 8 Stellen Genauigkeit:
| Rechnung | Resultat |
|---|---|
| 1.0000001 - 1.0000000 | 10⁻⁷ — nur noch 1 gültige Stelle! |
| (1+1/n) - 1 für n=10⁹ | katastrophal ungenau |
Beispiel — Lösungsformel quadratische Gleichung
x = (-b ± √(b²-4ac))/2a kann auslöschen, wenn b²-4ac ≈ b². Stabile Variante:für b > 0: x₁ = (-b - √D)/2a, x₂ = c/(a·x₁) (Vieta).
Konditionierung vs. StabilitätKondition = wie stark reagiert die exakte Lösung auf gestörte Daten? Stabilität = wie stark verstärkt der Algorithmus Fehler? Schlechte Kondition = Problem-Eigenschaft, schlechte Stabilität = Algorithmus-Wahl.