Nullstellen — Bisektion & Newton
Bisektion — sicher, aber langsam
Wenn f stetig auf [a, b] mit f(a)·f(b) < 0: Halbiere, prüfe Vorzeichen, wähle Hälfte mit Vorzeichenwechsel.
Konvergenz: Linear, |Fehler| halbiert sich pro Schritt. Pro Dezimalstelle braucht man log₂(10) ≈ 3.3 Schritte.
Newton-Verfahren — schnell, wenn nah dran
x_(n+1) = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ). Geometrisch: Tangente ans Bild legen, Schnittpunkt mit x-Achse als neue Schätzung.
Konvergenz: Quadratisch — Anzahl korrekter Stellen verdoppelt sich pro Schritt. Aber: Nur wenn Startwert gut gewählt und f' an der Nullstelle nicht 0 ist.
| Verfahren | Konvergenz | Voraussetzung | Aufwand/Schritt |
|---|---|---|---|
| Bisektion | linear | f stetig, Vorzeichenwechsel | 1× f-Auswertung |
| Newton | quadratisch | f differenzierbar, gute Startwerte | 1× f, 1× f' |
| Sekanten | ≈1.62 | f stetig | 1× f (kein f' nötig) |
| Regula Falsi | ≈1.62 | Vorzeichenwechsel | 1× f |
Beispiel — √2 mit Newton
f(x) = x² - 2, f'(x) = 2x. Iteration: x_(n+1) = xₙ - (xₙ² - 2)/(2xₙ) = (xₙ + 2/xₙ)/2.
- x₀ = 1 → x₁ = 1.5 → x₂ = 1.41666... → x₃ = 1.41421568... → x₄ = 1.41421356...