Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) Bisektion. Wie viele Schritte für ε = 10⁻⁴ auf [0, 1]?
   Lösung: 2⁻ⁿ ≤ 10⁻⁴ → n ≥ log₂(10⁴) ≈ 14.
2. 2) Newton. 3 Newton-Schritte für f(x) = x² − 5, x₀ = 2.
   Lösung: x₁ = (2 + 5/2)/2 = 2.25; x₂ = (2.25 + 5/2.25)/2 = 2.23611; x₃ = 2.23606798. ≈ √5.
3. 3) LR-Zerlegung. Zerlege A = [[2, 1], [4, 3]] in L·R.
   Lösung: L = [[1,0],[2,1]], R = [[2,1],[0,1]]. Probe: L·R = A ✓.
4. 4) Auslöschung. Berechne 1 - cos(0.001) auf 4 Stellen — sicher und unsicher.
   Lösung: Direkt: 1 - 0.99999950 = 5·10⁻⁷ (1 Stelle!). Sicher: 2·sin²(0.0005) = 5.00·10⁻⁷ (4 Stellen).
5. 5) Lagrange. Interpoliere (0, 1), (1, 2), (2, 5).
   Lösung: p(x) = 1·L₀ + 2·L₁ + 5·L₂ = x² + 1. Probe: p(0)=1, p(1)=2, p(2)=5 ✓.
6. 6) Trapezregel. Approximiere ∫₀² x² dx mit n = 4 Teilintervallen.
   Lösung: h = 0.5; T = h·(f(0)/2 + f(0.5) + f(1) + f(1.5) + f(2)/2) = 0.5·(0 + 0.25 + 1 + 2.25 + 2) = 2.75. Exakt: 8/3 ≈ 2.667. Fehler ~3 %.
7. 7) Kondition. Was passiert bei Lösung von [[1, 1], [1, 1.0001]] x = b?
   Lösung: Determinante = 0.0001 — fast singulär. Kleine Datenstörungen ändern x dramatisch. Schlecht konditioniert.