Interpolation & Approximation
Interpolation: Finde ein Polynom, das durch n+1 Stützstellen exakt geht.
Approximation: Finde eine Funktion, die nahe (z. B. kleinster Fehler) an Daten liegt.
Approximation: Finde eine Funktion, die nahe (z. B. kleinster Fehler) an Daten liegt.
Lagrange-Form
p(x) = Σ yᵢ · Lᵢ(x), wobei Lᵢ(x) = Π_(j≠i) (x - xⱼ)/(xᵢ - xⱼ).
Vorteil: Direkt aufschreibbar. Nachteil: Bei Hinzufügen eines Punktes muss alles neu berechnet werden.
Newton-Form mit dividierten Differenzen
p(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + ...
Koeffizienten aᵢ = f[x₀, ..., xᵢ] aus dem Schema der dividierten Differenzen.
Runge-PhänomenHochgradige Polynom-Interpolation auf gleichmäßigem Gitter erzeugt wilde Oszillationen am Rand. Lösung: Spline-Interpolation oder Tschebyschow-Knoten.
Splines
Statt eines hochgradigen Polynoms: stückweise kubische Polynome, an den Knoten zweimal stetig differenzierbar. Glatt, stabil, Standard in Grafik und CAD.