Kompaktheit — der mächtigste Trumpf
Kompakte Menge: K ⊆ X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Klingt abstrakt? Im ℝⁿ wird daraus etwas sehr Konkretes:
Satz von Heine-Borel: K ⊆ ℝⁿ ist kompakt ⇔ K ist abgeschlossen und beschränkt.
Warum ist Kompaktheit so wichtig?
- Stetige Funktionen auf Kompakta nehmen Maximum und Minimum an.
- Stetige Funktionen auf Kompakta sind gleichmäßig stetig.
- Folgenkompaktheit (jede Folge hat eine konvergente Teilfolge) ist äquivalent in metrischen Räumen.
- Kompaktheit ist die richtige "Endlichkeit" für unendliche Räume.
Heine-Borel-MantraIm ℝⁿ: kompakt = abgeschlossen + beschränkt. Das gilt nicht in beliebigen Räumen — Vorsicht beim Verallgemeinern!
Beispiele
- [0, 1] ⊆ ℝ ist kompakt.
- (0, 1) ⊆ ℝ ist nicht kompakt — nicht abgeschlossen.
- ℝ ist nicht kompakt — nicht beschränkt.
- Die abgeschlossene Einheitskugel im ℝⁿ ist kompakt.