Offene & abgeschlossene Mengen
Offene Menge in ℝⁿ:U ⊆ ℝⁿ heißt offen, wenn zu jedem Punkt x ∈ U eine ε-Umgebung B(x, ε) ⊆ U existiert. Anschaulich: kein Punkt liegt am "Rand".
Abgeschlossene Menge: A ⊆ ℝⁿ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement ℝⁿ \ A offen ist. Äquivalent: A enthält alle ihre Häufungspunkte.
Beispiele in ℝ
| Menge | Offen? | Abgeschlossen? |
|---|---|---|
| (0, 1) | ✓ | ✗ |
| [0, 1] | ✗ | ✓ |
| [0, 1) | ✗ | ✗ |
| ℝ | ✓ | ✓ |
| ∅ | ✓ | ✓ |
| {1, 2, 3} | ✗ | ✓ |
Häufiger Irrtum"offen" und "abgeschlossen" sind keine Gegensätze. Eine Menge kann beides sein (∅, ℝ), keines (Halbintervalle) oder genau eines.
Operationen
- Beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen.
- Endlicher Durchschnitt offener Mengen ist offen.
- Beliebiger Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
- Endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.