Zusammenhang — "in einem Stück"
Zusammenhängend: X heißt zusammenhängend, wenn X nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Mengen geschrieben werden kann.
Beispiele in ℝ
| Menge | Zusammenhängend? |
|---|---|
| [0, 1] | ✓ |
| (0, 1) ∪ (2, 3) | ✗ (zwei Stücke) |
| ℚ ⊆ ℝ | ✗ (jede irrationale Zahl trennt) |
| ℝ | ✓ |
Wegzusammenhang: Zwischen je zwei Punkten gibt es einen stetigen Weg. Wegzusammenhang ⇒ Zusammenhang (umgekehrt nicht immer).
Anwendung — Zwischenwertsatz
Sei f: [a, b] → ℝ stetig mit f(a) < 0 < f(b). Da [a, b] zusammenhängend ist, ist auch f([a, b]) zusammenhängend — also ein Intervall. Es muss eine Nullstelle in (a, b) enthalten.
Brücken-BildZusammenhang heißt: Du kannst nicht zerteilen, ohne zu zerreißen. Wegzusammenhang heißt: Du kannst laufen von A nach B.