Stetigkeit — topologisch gedacht
Aus der Schule: f ist stetig, wenn der Graph keine Sprünge hat. Topologisch wird daraus eine viel sauberere Definition.
f: X → Y stetig ⇔ für jede offene Menge V ⊆ Y ist das Urbild f⁻¹(V) ⊆ X offen.
Warum diese Definition?
Sie braucht keine Abstände, keine Grenzwerte, keine Folgen. Sie funktioniert in jedem topologischen Raum — nicht nur in ℝⁿ. Das macht sie zur richtigen Verallgemeinerung.
Eigenschaften stetiger Funktionen
- Komposition: Sind f und g stetig, ist g ∘ f stetig.
- Stetiges Bild von Kompaktem ist kompakt.
- Stetiges Bild von Zusammenhängendem ist zusammenhängend.
- Zwischenwertsatz folgt direkt aus dem letzten Punkt.
EselsbrückeStetigkeit prüft Urbilder, nicht Bilder! Bilder offener Mengen müssen nicht offen sein. Beispiel: f(x) = x² bildet (-1, 1) auf [0, 1) ab — nicht offen.