1) Offen oder abgeschlossen? Klassifiziere: A = (-∞, 0], B = (0, 1) ∪ (2, 3), C = ℤ ⊆ ℝ. Lösung: A abgeschlossen. B offen. C abgeschlossen (Komplement = Vereinigung offener Intervalle).
2) Heine-Borel. Ist die Menge {1/n : n ∈ ℕ} ∪ {0} kompakt? Lösung: Beschränkt (in [0, 1]) und abgeschlossen (Häufungspunkt 0 enthalten) — also kompakt.
3) Stetigkeit. Ist f: ℝ → ℝ, f(x) = x² stetig? Beweis topologisch. Lösung: Sei V = (a, b) offen. Dann f⁻¹(V) = {x : a < x² < b} ist Vereinigung offener Intervalle — offen. ✓
4) Kompakt + stetig. Sei f: [0, 1] → ℝ stetig. Was folgt? Lösung: Bild ist kompakt — also abg. + beschr. f nimmt Max und Min an, ist gleichmäßig stetig.
5) Zusammenhang. Ist ℚ ⊆ ℝ zusammenhängend? Lösung: Nein. Sei α irrational, dann ℚ = (ℚ ∩ (-∞, α)) ∪ (ℚ ∩ (α, ∞)) — zwei disjunkte offene Stücke.
6) Komplement. Zeige: A ist abgeschlossen ⇔ ℝⁿ \ A ist offen. Lösung: Direkt aus der Definition (genau so definiert).
7) Zwischenwertsatz. Sei f: [0, 1] → ℝ stetig mit f(0) = -1, f(1) = 2. Existiert eine Nullstelle? Lösung: Ja. f([0, 1]) ist zusammenhängend in ℝ — also ein Intervall, das -1 und 2 enthält, also auch 0.
