Gruppen — Menge mit guter Verknüpfung
Definition · Gruppe (G, ·)
Menge G mit Verknüpfung · die folgende vier Axiome erfüllt:
1. Abgeschlossenheit: a, b ∈ G → a · b ∈ G 2. Assoziativität: (a · b) · c = a · (b · c) 3. Neutralelement: e mit a · e = a 4. Inverses: zu jedem a gibt es a⁻¹ mit a · a⁻¹ = eBeispiele
| Gruppe | Verknüpfung | Neutral | Inverses zu a |
|---|---|---|---|
| (ℤ, +) | Addition | 0 | −a |
| (ℚ \ {0}, ·) | Multiplikation | 1 | 1/a |
| ℤ/5ℤ unter + | Addition mod 5 | 0 | 5 − a |
| S_n (Permutationen) | Komposition | id | Inverse Permutation |
| D_n (Dieder) | Komposition | id | — |
Achtung(ℕ, +) ist keine Gruppe — es fehlen die Inversen (z.B. zu 3 wäre −3 nötig, das ist nicht in ℕ).
Abelsche Gruppe
Eine Gruppe heißt abelsch (kommutativ), wenn zusätzlich gilt: a · b = b · a. (ℤ, +) ist abelsch, S_n für n ≥ 3 ist es nicht.