Homomorphismen — strukturerhaltende Abbildungen
Definition · Gruppen-Homomorphismus
Abbildung φ: G → H mit φ(a · b) = φ(a) · φ(b) für alle a, b ∈ G.
Klassisches Beispiel
exp: (ℝ, +) → (ℝ⁺, ·)
exp(a + b) = exp(a) · exp(b)
→ Homomorphismus zwischen additiver und multiplikativer Gruppe.Wichtige Begriffe
| Begriff | Bedeutung |
|---|---|
| Kern | Ker φ = { a ∈ G : φ(a) = e_H } |
| Bild | Im φ = { φ(a) : a ∈ G } |
| Isomorphismus | bijektiver Homomorphismus — strukturgleich |
| Endomorphismus | Homomorphismus G → G |
HomomorphiesatzG/Ker φ ≅ Im φ. Eine der zentralen Sätze der Algebra — verbindet Quotientengruppen mit Bildern.