Praxis — Klausuraufgaben

1. Gruppe oder nicht? Ist (ℤ, ·) eine Gruppe?
   Lösung

   Nein. Multiplikative Inverse fehlen für die meisten n (z.B. 1/2 ∉ ℤ).

2. Restklasse: Berechne (3 + 7) · 4 in ℤ/5ℤ.
   Lösung

   (3 + 7) mod 5 = 10 mod 5 = 0. 0 · 4 = 0. Antwort: 0.

3. Inverses suchen: Was ist das multiplikative Inverse von 3 in ℤ/7ℤ?
   Lösung

   3 · 5 = 15 = 14 + 1 = 2·7 + 1 ≡ 1 mod 7. Inverses: 5.

4. Permutation: Wie viele Elemente hat S_4?
   Lösung

   |S_4| = 4! = 24.

5. Homomorphismus: Ist die Abbildung det: GL_n(ℝ) → ℝ* ein Gruppen-Homomorphismus?
   Lösung

   Ja. det(AB) = det(A) · det(B). Erfüllt das Homomorphismus-Axiom.

6. Nullteiler: Hat ℤ/12ℤ Nullteiler? Beispiel?
   Lösung

   Ja. Z.B. 4 · 3 = 12 ≡ 0 mod 12. Beide ≠ 0, Produkt = 0 → Nullteiler.

7. Körper-Test: Ist ℤ/9ℤ ein Körper?
   Lösung

   Nein. 9 ist nicht prim. 3 hat kein multiplikatives Inverses (3 · k ≡ 1 mod 9 hat keine Lösung). Nur Ringe ℤ/pℤ mit p prim sind Körper.