Körper — wo alle Standard-Operationen funktionieren
Definition · Körper
Ein Ring K, in dem (K \ {0}, ·) eine abelsche Gruppe ist — also jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat.
Wichtige Beispiele
| Körper | Beschreibung |
|---|---|
| ℚ | rationale Zahlen |
| ℝ | reelle Zahlen |
| ℂ | komplexe Zahlen |
| 𝔽_p (p prim) | endlicher Körper mit p Elementen — ℤ/pℤ |
| 𝔽_p^n | Galois-Körper mit p^n Elementen — Kryptografie |
Endliche Körper in der KryptografieAES, ECC, RSA — moderne Verschlüsselung läuft komplett in endlichen Körpern. Ohne abstrakte Algebra kein sicheres Internet.
Was unterscheidet Körper von Ring?
In ℤ kannst du nicht durch alles teilen (5/3 ist nicht in ℤ). In ℚ schon — deshalb ist ℚ ein Körper. Ein Körper erlaubt Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (außer durch 0).