Integrieren — die Fläche unter der Kurve
Hauptsatz der Analysis
Wenn F eine Stammfunktion von f ist (also F'(x) = f(x)), dann gilt:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)Stammfunktionen (auswendig!)
| f(x) | F(x) |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
Beispiel — Fläche berechnen
∫₀² x² dx
F(x) = x³/3
= F(2) − F(0)
= 8/3 − 0
= 8/3 ≈ 2,67AnschaulichDas Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse von a bis b. Bei negativem f wird sie negativ gezählt.
Substitution & Partielle Integration
Substitution (Kettenregel rückwärts):
∫ f(g(x)) · g'(x) dx = F(g(x)) + C
Partielle Integration (Produktregel rückwärts):
∫ u'·v dx = u·v − ∫ u·v' dx