Praxis — Klausuraufgaben

1. Ableitung: Berechne die Ableitung von f(x) = x³ − 4x² + 7x − 2.
   Lösung

   f'(x) = 3x² − 8x + 7.

2. Kettenregel: f(x) = sin(x²). f'(x)?
   Lösung

   f'(x) = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²).

3. Maximum: Wo hat f(x) = −x² + 6x − 5 ihr Maximum?
   Lösung

   f'(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3. f(3) = 4. Maximum (3, 4).

4. Bestimmtes Integral: ∫₀³ (2x + 1) dx?
   Lösung

   F(x) = x² + x. F(3) − F(0) = 12 − 0 = 12.

5. Grenzwert: lim x→2 (x² − 4)/(x − 2)?
   Lösung

   = lim (x+2)(x−2)/(x−2) = lim (x+2) = 4.

6. Stammfunktion: Bestimme F(x) für f(x) = 3x² + 2eˣ.
   Lösung

   F(x) = x³ + 2eˣ + C.

7. Anwendung Geschwindigkeit: s(t) = t³ − 6t² + 9t. Wann ist die Geschwindigkeit 0?
   Lösung

   v(t) = s'(t) = 3t² − 12t + 9 = 0 → t² − 4t + 3 = 0 → t = 1 oder t = 3.