Stetigkeit — keine Sprünge
Definition · Stetig in einem Punkt
f heißt stetig in a, wenn der Grenzwert existiert UND mit dem Funktionswert übereinstimmt.
lim x→a f(x) = f(a)Anschaulich
Stetige Funktion: ohne abzusetzen zeichenbar — keine Lücken, keine Sprünge.
Beispiele
| Funktion | Stetig? | Wo nicht? |
|---|---|---|
| f(x) = x² | überall | — |
| f(x) = 1/x | außer in 0 | x = 0 (Pol) |
| Stufenfunktion | außer an Sprüngen | Sprungstellen |
| tan x | außer bei π/2 + kπ | Polstellen |
Wichtige SätzeStetige Funktionen auf [a, b] nehmen Maximum/Minimum an. Zwischenwertsatz: jeder Wert zwischen f(a) und f(b) wird angenommen.