Doppelintegrale — Volumen unter Flächen
Definition · Doppelintegral
Integration über eine Fläche R im ℝ². Geometrisch: Volumen unter dem Funktionsgraph z = f(x, y).
∫∫_R f(x, y) dABerechnung über Rechteck
Bei R = [a, b] × [c, d] (Rechteck): geschachteltes Integral.
∫₀¹ ∫₀² xy dy dx
= ∫₀¹ [xy²/2]₀² dx
= ∫₀¹ 2x dx
= [x²]₀¹ = 1ReihenfolgeBeim Doppelintegral: von innen nach außen integrieren. Innere Variable zuerst, äußere zuletzt.
Polarkoordinaten
Bei kreisförmigen Bereichen: x = r·cos φ, y = r·sin φ. Die Jacobi-Determinante ist r:
∫∫ f(x, y) dx dy = ∫∫ f(r cos φ, r sin φ) · r dr dφ