Gradient — der Vektor des Anstiegs
Definition · Gradient
Der Gradient ist der Vektor aller partiellen Ableitungen.
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z, ...)Beispiel
f(x, y) = x² + y²
∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 2y
∇f = (2x, 2y)
Im Punkt (1, 1): ∇f = (2, 2)
Im Punkt (3, 4): ∇f = (6, 8) → Richtung (3, 4) → genau weg vom Ursprung.Geometrische BedeutungAuf einer „Höhenkarte" steht der Gradient senkrecht auf der Höhenlinie und zeigt aufwärts. Je länger der Pfeil, desto steiler.
Richtungsableitung
Wenn du in eine bestimmte Richtung u (Einheitsvektor) schauen willst, wie steil ist es?
D_u f = ∇f · u (Skalarprodukt)Der Gradient gibt die maximale Richtungsableitung (in seine eigene Richtung).