Kapitel 2 · Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen — eine Variable nach der anderen

Definition · Partielle Ableitung

Bei f(x, y) ist ∂f/∂x die Ableitung nach x — alle anderen Variablen werden konstant gehalten.

∂f/∂x = lim h→0 (f(x+h, y) − f(x, y)) / h

Praxis-Beispiel

f(x, y) = x²y + 3y + sin(x)

∂f/∂x = 2xy + 0 + cos(x) = 2xy + cos(x)
∂f/∂y = x²   + 3 + 0     = x² + 3

🎯

TrickBeim Ableiten nach x: alles, was nur y enthält, ist eine Konstante (Ableitung = 0). Bei x·y ist y der Koeffizient — bleibt stehen.

Höhere partielle Ableitungen

f(x, y) = x²y + y³

∂f/∂x = 2xy
∂²f/∂x² = 2y                 (zweimal nach x)
∂²f/(∂x ∂y) = 2x             (erst nach y, dann nach x)
∂f/∂y = x² + 3y²
∂²f/∂y² = 6y                 (zweimal nach y)

Bei genügend glatten Funktionen gilt: Reihenfolge egal (Satz von Schwarz).