Jacobi-Matrix — Ableitung für Vektorfunktionen
Wenn f: ℝⁿ → ℝᵐ vektorwertig ist, hat die „Ableitung" Form einer Matrix.
Jacobi-Matrix
Zeile i = Gradient von f_i. Insgesamt m Zeilen × n Spalten.
J_f = [∂f_i/∂x_j]Beispiel
F(x, y) = (x² + y, x · y)
J = ⎛ ∂(x²+y)/∂x ∂(x²+y)/∂y ⎞ = ⎛ 2x 1 ⎞
⎝ ∂(xy)/∂x ∂(xy)/∂y ⎠ ⎝ y x ⎠Wozu?
- Kettenregel in mehreren Dimensionen wird Matrix-Multiplikation.
- Newton-Verfahren für nichtlineare Systeme braucht J.
- Variablenwechsel in Mehrfach-Integralen braucht det(J).
- Optimierung in ML: Jacobi für Backpropagation.