Praxis — Klausuraufgaben

1. Partielle Ableitung: f(x, y) = x³y + xy² + 5y. Berechne ∂f/∂x und ∂f/∂y.
   Lösung

   ∂f/∂x = 3x²y + y². ∂f/∂y = x³ + 2xy + 5.

2. Gradient: f(x,y) = e^(xy). Was ist ∇f in (1, 0)?
   Lösung

   ∇f = (y·e^(xy), x·e^(xy)). In (1, 0): (0·1, 1·1) = (0, 1).

3. Doppelintegral über Rechteck: ∫₀² ∫₀³ (x + y) dy dx?
   Lösung

   ∫₀² [xy + y²/2]₀³ dx = ∫₀² (3x + 9/2) dx = [3x²/2 + 9x/2]₀² = 6 + 9 = 15.

4. Maximum: f(x,y) = −x² − y² + 4x + 6y − 12. Wo Maximum?
   Lösung

   ∂f/∂x = −2x + 4 = 0 → x = 2. ∂f/∂y = −2y + 6 = 0 → y = 3. Maximum (2, 3, f(2,3)=1).

5. Richtungsableitung: f(x,y) = x² + 2y². Richtungsableitung in (1,1) in Richtung (1,0)?
   Lösung

   ∇f = (2x, 4y). In (1,1): (2, 4). D_(1,0) f = (2,4)·(1,0) = 2.

6. Tangentialebene: f(x,y) = x² + y² in (1, 2). Gleichung der Tangentialebene?
   Lösung

   f(1,2)=5, ∇f=(2,4). z = 5 + 2(x−1) + 4(y−2) = 2x + 4y − 5.

7. Polarkoordinaten: Berechne ∫∫ x dA über Einheitskreis.
   Lösung

   = ∫₀^(2π) ∫₀¹ r cos φ · r dr dφ = ∫₀^(2π) cos φ dφ · ∫₀¹ r² dr = 0 · (1/3) = 0.