Cauchy-Integralformel — die Magie
Sei f holomorph in U und γ ein einfach-geschlossener positiv orientierter Weg um z₀ in U:
f(z₀) = (1/2πi) · ∮_γ f(z)/(z - z₀) dz
f(z₀) = (1/2πi) · ∮_γ f(z)/(z - z₀) dz
Klingt unscheinbar, ist aber atemberaubend: Der Wert der Funktion im Inneren wird durch ein Integral am Rand bestimmt. Holomorphie ist eine globale Eigenschaft.
Folgerungen
- Cauchy-Integralsatz: ∮_γ f(z) dz = 0 für f holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet.
- Mittelwertformel: f(z₀) = Mittelwert von f auf einer Kreislinie um z₀.
- Maximumprinzip: |f| nimmt Maximum nur auf dem Rand an.
- Liouville: Beschränkte ganze Funktionen (auf ganz ℂ holomorph) sind konstant.
Residuensatz
∮_γ f(z) dz = 2πi · Σ Res(f, z_k), wobei die z_k die Singularitäten innerhalb γ sind.
Damit lassen sich viele reelle Integrale berechnen — z. B. ∫₀^∞ sin(x)/x dx = π/2.
Why Mathematicians Love ThisAus einer komplexen Schleife folgt: Funktionswert = lokal kontrolliert durch globalen Rand. Das ist eine Symmetrie, die im Reellen nicht existiert.