Holomorphe Funktionen
f: U → ℂ heißt holomorph in z₀, wenn der Grenzwert
f'(z₀) = lim_(h→0) (f(z₀+h) - f(z₀))/h
existiert (h ∈ ℂ, beliebige Richtung).
f'(z₀) = lim_(h→0) (f(z₀+h) - f(z₀))/h
existiert (h ∈ ℂ, beliebige Richtung).
Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
Schreibe f(z) = u(x, y) + i·v(x, y). Dann ist f holomorph genau dann, wenn:
∂u/∂x = ∂v/∂y und ∂u/∂y = -∂v/∂x
Das ist eine viel stärkere Bedingung als reelle Differenzierbarkeit. Konsequenzen:
- Holomorphe Funktionen sind unendlich oft komplex differenzierbar.
- Sie sind durch ihre Werte auf einer Kreisscheibe vollständig bestimmt.
- Realteil und Imaginärteil sind harmonisch (Δu = 0, Δv = 0).
Beispiele
| Funktion | Holomorph? | Wo? |
|---|---|---|
| z² | ja | überall |
| eᶻ | ja | überall |
| 1/z | ja | ℂ \ {0} |
| z̄ | nein | nirgends (Cauchy-Riemann verletzt) |
| |z|² | nein | außer z = 0 |