Potenz- und Laurent-Reihen
Jede holomorphe Funktion ist um jeden Punkt ihres Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelbar:
f(z) = Σ_(n=0)^∞ aₙ(z - z₀)ⁿ mit Konvergenzradius R.
f(z) = Σ_(n=0)^∞ aₙ(z - z₀)ⁿ mit Konvergenzradius R.
Beispiele
- eᶻ = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ... (R = ∞)
- 1/(1-z) = 1 + z + z² + ... (R = 1)
- cos z = 1 - z²/2! + z⁴/4! - ... (R = ∞)
- ln(1+z) = z - z²/2 + z³/3 - ... (R = 1)
Laurent-Reihe — für Singularitäten
Um isolierte Singularitäten:
f(z) = Σ_(n=-∞)^∞ aₙ(z - z₀)ⁿ — auch negative Potenzen!
f(z) = Σ_(n=-∞)^∞ aₙ(z - z₀)ⁿ — auch negative Potenzen!
Die Koeffizienten der negativen Potenzen heißen Hauptteil, die positiven Nebenteil. Der Koeffizient a₋₁ heißt Residuum.
Klassifikation isolierter Singularitäten
| Typ | Hauptteil | Beispiel |
|---|---|---|
| Hebbar | kein | sin z / z bei z = 0 |
| Pol Ordnung k | endlich, höchste -k | 1/z² hat Pol Ordnung 2 |
| Wesentlich | unendlich viele Terme | e^(1/z) bei z = 0 |