Komplexe Zahlen — schnelles Wiederholen
Eine komplexe Zahl: z = x + iy mit i² = -1. Realteil Re(z) = x, Imaginärteil Im(z) = y. Die Gauss-Ebene stellt z als Punkt (x, y) dar.
Polarform
z = r·(cos φ + i·sin φ) = r·eⁱᵠ mit r = |z| = √(x²+y²) und φ = arg(z). Die polare Form macht Multiplikation und Potenzen einfach:
| Operation | Kartesisch | Polar |
|---|---|---|
| Addition | (x₁+x₂) + i(y₁+y₂) | (unhandlich) |
| Multiplikation | (x₁x₂-y₁y₂) + i(x₁y₂+x₂y₁) | r₁r₂·eⁱ⁽ᵠ¹⁺ᵠ²⁾ |
| Division | (z̄ erweitern) | (r₁/r₂)·eⁱ⁽ᵠ¹⁻ᵠ²⁾ |
| n-te Potenz | (unhandlich) | rⁿ·eⁱⁿᵠ (Moivre) |
Eulersche Identität
eⁱᵠ = cos φ + i·sin φ. Für φ = π: e^(iπ) + 1 = 0 — verbindet die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik in einer Zeile.
Konjugiert-komplexz̄ = x - iy. Dann: z·z̄ = |z|². Damit teilt man durch komplexe Zahlen — mit z̄ erweitern, dann Bruch durch reelle Zahl.