Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) Polarform. Schreibe z = -1 + i in Polarform.
   Lösung: r = √2, φ = 3π/4 → z = √2 · e^(i·3π/4).
2. 2) Cauchy-Riemann. Ist f(z) = z² + 2z holomorph? Beweise mit u, v.
   Lösung: u = x²-y²+2x, v = 2xy+2y. ∂u/∂x = 2x+2 = ∂v/∂y. ∂u/∂y = -2y = -∂v/∂x. Holomorph. ✓
3. 3) Potenzreihe. Entwickle f(z) = 1/(2-z) um z₀ = 0.
   Lösung: 1/(2-z) = (1/2)·1/(1-z/2) = (1/2)·Σ (z/2)ⁿ = Σ zⁿ/2^(n+1), R = 2.
4. 4) Cauchy-Integral. Berechne ∮_γ z²/(z-1) dz, γ = Kreis um 1 mit Radius 2.
   Lösung: Cauchy-Integralformel mit f(z) = z², z₀ = 1: 2πi · f(1) = 2πi.
5. 5) Residuum. Bestimme Res(1/(z²+1), i).
   Lösung: 1/(z²+1) = 1/((z-i)(z+i)). Res in i: lim_(z→i) (z-i)/((z-i)(z+i)) = 1/(2i) = -i/2.
6. 6) Reelles Integral. ∫_(-∞)^∞ 1/(x²+1) dx mit Residuensatz.
   Lösung: Halbkreis-Kontour oben — innen liegt nur Pol bei i. Res = 1/(2i). Integral = 2πi · 1/(2i) = π.
7. 7) Klassifikation. Welcher Singularitätentyp liegt bei f(z) = sin(z)/z² in z = 0?
   Lösung: sin z / z² = (z - z³/6 + ...)/z² = 1/z - z/6 + ... → Pol erster Ordnung mit Residuum 1.