Worum geht es?
Stell dir vor:In den reellen Zahlen ist x² = -1 ein Drama — keine Lösung. In ℂ wird es trivial: x = ±i. Aus diesem "Trick" entsteht eine ganze Welt — die Funktionentheorie. Sie ist erstaunlich elegant: Wer einmal komplex differenzierbar ist, ist es unendlich oft.
Funktionentheorie (auch: komplexe Analysis) untersucht Funktionen f: ℂ → ℂ. Die Theorie ist überraschend mächtig — viele reelle Integrale lassen sich nur mit komplexer Hilfe berechnen.
Vier WunderHolomorphe Funktionen sind unendlich glatt. Cauchy-Formel bestimmt Funktion auf Gebiet aus Randwerten. Potenzreihen konvergieren in Kreisscheiben. Residuensatz macht reelle Integrale bezwingbar.
Was du am Ende kannst
- Mit komplexen Zahlen sicher rechnen — kartesisch und polar.
- Cauchy-Riemann-Gleichungen anwenden, Holomorphie prüfen.
- Cauchy-Integralformel zur Funktionsbestimmung nutzen.
- Potenz- und Laurent-Reihen verstehen, Singularitäten klassifizieren.