Eigenschaften der Determinante
| Eigenschaft | Formel |
|---|---|
| Identitätsmatrix | det I = 1 |
| Multiplikativ | det(A·B) = det A · det B |
| Transponiert | det Aᵀ = det A |
| Inverse | det A⁻¹ = 1 / det A |
| Skalierung einer Zeile | Zeile mal λ → det mal λ |
| Zeilen tauschen | Vorzeichen von det wechselt |
| Vielfaches einer Zeile addieren | det bleibt gleich |
| Zwei gleiche Zeilen | det = 0 |
| Zeile von Nullen | det = 0 |
| Dreiecksmatrix | det = Produkt der Diagonale |
Berechnungs-TrickBringe A mit Gauß-Elimination in Dreiecksform — dabei nur Zeilen-Add (det unverändert) und ggf. Tauschen (Vorzeichen!). Dann: det = Produkt der Hauptdiagonale × (−1)ᵗᵃᵘˢᶜʰᵉ. Effizient auch für große Matrizen.
Wichtigste Konsequenz
Für eine quadratische Matrix A:
A invertierbar ⇔ det A ≠ 0 ⇔ A·x = b eindeutig lösbarDiese Äquivalenz nutzt jeder Mathe-Kurs ständig.