Kapitel 8 · Praxis

Praxis — Geometrie & Klausur

Drei Punkte A = (1,1), B = (5,2), C = (3,6). Welche Fläche hat das Dreieck?

Lösung mit Determinante

Bilde Vektoren u = B − A = (4, 1) und v = C − A = (2, 5). Fläche = ½ · |det((4,1),(2,5))| = ½ · |20 − 2| = ½·18 = 9.

Cramer löst LGS direkt mit Determinanten. Für 2×2-System a·x + b·y = e, c·x + d·y = f:

x = det((e,b),(f,d)) / det A, y = det((a,e),(c,f)) / det A

Elegant für kleine Systeme, aber für große numerisch ineffizient — Gauß ist Standard.

Berechne det((2, 5), (1, 3)).
Lösung
2·3 − 5·1 = 6 − 5 = 1. Die Inverse: ((3, −5), (−1, 2)).
det A = 4. Was ist det(2A) für A ∈ ℝ³ˣ³?
Lösung
Skalierung jeder Zeile mit 2 → 2³ = 8 mal. Also det(2A) = 8 · 4 = 32. Allgemein: det(λA) = λⁿ · det A für n×n.
A · B = I. Was ist det A · det B?
Lösung
det(A·B) = det A · det B = det I = 1. Also det A · det B = 1. Insbesondere ist B = A⁻¹.
Wann sind die Spalten von A linear abhängig?
Lösung
Genau wenn det A = 0. Die Spaltenvektoren spannen dann ein „degeneriertes" Parallelogramm (Strecke statt Fläche) auf.

🪜

Merksatz2×2: ad − bc.
3×3: Sarrus oder Laplace.
det = 0 ⇔ nicht invertierbar ⇔ Spalten linear abhängig.
|det A| = Volumen-Faktor.

Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 5 · Vektorräume" abstrahieren wir: was ist eigentlich ein „Raum" in der LinAlg?