Inverse Matrix
Definition · Inverse Matrix
Falls A invertierbar (det A ≠ 0) ist, gibt es eine Matrix A⁻¹ mit:
A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = IFormel für 2×2 Inverse
Für A = ((a, b), (c, d)) mit det A ≠ 0:
A⁻¹ = (1/det A) · ⎛ d −b ⎞⎝ −c a ⎠
Diagonal vertauschen, Nebendiagonale negieren, alles durch det teilen.
Beispiel
A = ((3, 2), (1, 4)). det A = 10. A⁻¹ = (1/10) · ((4, −2), (−1, 3)) = ((0.4, −0.2), (−0.1, 0.3)).
Probe: A · A⁻¹ = ((3·0.4+2·(−0.1), 3·(−0.2)+2·0.3), ...) = ((1, 0), (0, 1)) = I. ✓
Größere Matrizen — Gauß-Jordan
Für n > 2: schreibe (A | I), wende Gauß-Jordan an, lese (I | A⁻¹) ab. Falls A nicht invertierbar (det A = 0): Gauß führt zu einer Nullzeile — Verfahren scheitert.
LGS via InverseA·x = b → multipliziere von links mit A⁻¹: x = A⁻¹·b. Theoretisch elegant —praktisch meidet man dies (numerisch instabil), Gauß ist effizienter.