Basis — minimales Erzeugendensystem
Definition · Basis
Eine Menge B = {v₁, ..., vₙ} ⊂ V heißt Basis von V, wenn:
- B ist linear unabhängig
- B erzeugt V (span B = V)
Alternative Charakterisierung: jeder Vektor v ∈ V hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der vᵢ.
Standardbasis von ℝⁿ
e₁ = (1, 0, 0, ...), e₂ = (0, 1, 0, ...), ..., eₙ = (0, ..., 0, 1). Jeder Vektor v = (v₁, ..., vₙ) lässt sich als v = Σ vᵢ·eᵢ schreiben.
Andere Basen für ℝ²
- {(1,0), (0,1)} — Standardbasis.
- {(1,1), (1,−1)} — gedrehte Basis.
- {(2,1), (3,5)} — beliebige nicht-parallele Vektoren.
Es gibt unendlich viele Basen für ℝ²!
Basen für andere Räume
| Vektorraum | Standardbasis |
|---|---|
| ℝₙ[x] (Polynome ≤ Grad n) | 1, x, x², ..., xⁿ |
| ℝᵐˣⁿ Matrizen | Eᵢⱼ (1 an Position (i,j), 0 sonst) |
| ℂ über ℝ | 1, i |
Wichtige SätzeJede Basis von V hat gleich viele Vektoren — diese Anzahl ist die Dimension von V. Aus jeder erzeugenden Menge kann man eine Basis auswählen. Jede linear unabhängige Menge kann zu einer Basis ergänzt werden („Basisergänzungssatz").