Lineare (Un)Abhängigkeit
Drei Vektoren in ℝ²: spannen sie etwas Neues auf — oder ist einer „überflüssig"? Die Antwort gibt das Konzept der linearen Unabhängigkeit: drei Vektoren in ℝ² sind immer linear abhängig (einer ist Kombi der anderen). Aber zwei können unabhängig sein, wenn sie nicht parallel liegen.
Definition · Lineare Unabhängigkeit
Vektoren v₁, ..., vₖ ∈ V heißen linear unabhängig, wenn:
λ₁v₁ + ... + λₖvₖ = 0 ⇒ λ₁ = ... = λₖ = 0Sonst linear abhängig: dann lässt sich einer als Linearkombination der anderen schreiben.
Anschaulich
- 1 Vektor: abhängig ⇔ v = 0.
- 2 Vektoren: abhängig ⇔ einer ist Vielfaches des anderen (parallel).
- 3 Vektoren in ℝ²: immer abhängig (zu viele für die Ebene).
- 3 Vektoren in ℝ³: abhängig ⇔ alle drei in einer Ebene.
FaustregelIn einem n-dim Raum kann man höchstens n Vektoren linear unabhängig wählen. Mehr → garantiert abhängig. Weniger → nicht mal Erzeugendensystem.