Dimension
Definition · Dimension
Die Dimension dim V eines Vektorraums V ist die Anzahl der Vektoren in irgendeiner (jeder) Basis. Sie ist eindeutig.
Bekannte Dimensionen
| Raum | Dimension |
|---|---|
| ℝⁿ | n |
| ℝₙ[x] (Grad ≤ n) | n + 1 |
| ℝᵐˣⁿ | m·n |
| {0} (Nullraum) | 0 |
| ℂ als ℝ-Vektorraum | 2 |
| ℂ als ℂ-Vektorraum | 1 |
Dimension eines Unterraums
Wenn U ⊆ V Unterraum: dim U ≤ dim V. Gleichheit gilt nur, wenn U = V.
- In ℝ³: dim 0, 1, 2 oder 3 möglich (Nullraum, Gerade, Ebene, ganz ℝ³).
Dimensionsformel
dim(U + W) + dim(U ∩ W) = dim U + dim W
Für zwei Unterräume U, W eines endlich-dim Vektorraums.
Dimension verstehenDimension = Anzahl Freiheitsgrade. In ℝ² brauche ich 2 Zahlen, um einen Vektor festzulegen. In ℝ₂[x] brauche ich 3 Koeffizienten (a, b, c) für a + bx + cx². Daher dim 3.