Rang einer Matrix
Definition · Rang
Der Rang einer Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten (= Anzahl linear unabhängiger Zeilen — beide Zahlen stimmen immer überein).
rang A = dim(Spaltenraum) = dim(Zeilenraum)So berechnest du den Rang
- Bringe A in Stufenform mit Gauß.
- Zähle die nicht-Null-Zeilen.
- Diese Anzahl ist der Rang.
Eigenschaften
- 0 ≤ rang A ≤ min(m, n). Klein, falls Zeilen/Spalten abhängig.
- rang A = min(m, n): A hat „vollen Rang".
- Quadratisch (n × n): rang A = n ⇔ det A ≠ 0 ⇔ invertierbar.
- rang(AᵀA) = rang A.
Lösbarkeit von LGS · Rangkriterium
Für A·x = b mit A ∈ ℝᵐˣⁿ:
- Lösbar ⇔ rang A = rang(A | b) (erweiterte Matrix gleiche Rang).
- Eindeutig lösbar ⇔ rang A = rang(A | b) = n.
- ∞ viele Lösungen ⇔ rang A = rang(A | b) < n.
- Keine Lösung ⇔ rang A < rang(A | b).
Rang als InformationDer Rang sagt, wie viel „echte" Information die Matrix trägt. Geringer Rang = viel Redundanz = Daten lassen sich komprimieren (PCA, SVD!).