Wie testet man Abhängigkeit?

Methode 1: Determinante (für n Vektoren in ℝⁿ)

Schreibe die Vektoren als Spalten einer Matrix A. Es gilt:

Beispiel: v₁ = (1, 2), v₂ = (3, 4). A = ((1, 3), (2, 4)). det A = 4 − 6 = −2 ≠ 0 → unabhängig.

Methode 2: Gauß-Algorithmus (allgemein)

Schreibe die Vektoren als Spalten einer Matrix. Bringe in Stufenform. Anzahl nicht-Null-Zeilen = Anzahl linear unabhängiger Vektoren = Rang der Matrix.

Methode 3: LGS (formell)

Setze λ₁v₁ + ... + λₖvₖ = 0 an. Löse das LGS für die λᵢ. Falls nur die triviale Lösung (alle λᵢ = 0): unabhängig. Falls eine nicht-triviale Lösung: abhängig.

Beispiel

v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (2, 4, 6). v₂ = 2·v₁ → linear abhängig.

v₁ = (1, 0), v₂ = (0, 1), v₃ = (1, 1). v₃ = v₁ + v₂ → linear abhängig.