Praxis — Basiswechsel & Klausur
Anwendung 1: Koordinaten in einer Basis
Sei B = {(1,1), (1,−1)} eine Basis von ℝ². Schreibe v = (5, 1) in B-Koordinaten.
Lösung
Ansatz: (5, 1) = λ·(1, 1) + μ·(1, −1) → λ + μ = 5 und λ − μ = 1 → λ = 3, μ = 2. Also [v]B = (3, 2). In Standardbasis: (5, 1). In B: (3, 2).Anwendung 2: Datenkompression durch Basiswahl
Wenn alle Datenpunkte fast auf einer Geraden liegen → Wahl einer „Basis entlang der Linie" macht aus 2D-Daten effektiv 1D. Das ist die Idee hinter PCA (Hauptkomponentenanalyse) — kommt im letzten LinAlg-Kurs.
Aufgabe: Klausur-Klassiker
- Sind (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) linear unabhängig?
Lösung
Nein. (7,8,9) − 2·(4,5,6) + (1,2,3) = (0,0,0). Linear abhängig — Rang 2, nicht 3. - Wenn rang A = 2 und A ist 5×3, wie viele linear unabhängige Spalten hat A?
Lösung
Genau 2 — der Rang ist per Definition die Anzahl unabhängiger Spalten. - Ist {1, x, x², 1+x²} eine Basis von ℝ₂[x]?
Lösung
ℝ₂[x] hat Dimension 3. 4 Vektoren in einem 3-dim Raum sind immer abhängig → keine Basis. Konkret: 1 + x² = 1·1 + 0·x + 1·x² → linear abhängig zu {1, x, x²}.
MerksatzLin. unabhängig: kein vᵢ ist Kombi der anderen.
Basis: minimal erzeugend, eindeutige Darstellungen.
Dimension: Anzahl Vektoren in jeder Basis.
Rang: Anzahl unabhängiger Spalten/Zeilen.
Basis: minimal erzeugend, eindeutige Darstellungen.
Dimension: Anzahl Vektoren in jeder Basis.
Rang: Anzahl unabhängiger Spalten/Zeilen.
Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 7 · Lineare Abbildungen"kommt das Highlight: Matrizen sind Funktionen auf Vektorräumen.