Was ist eine lineare Abbildung?
Bisher waren Matrizen Tabellen von Zahlen. Jetzt die wirklich kraftvolle Sicht: Eine Matrix ist eine Funktion — sie nimmt Vektoren rein und gibt Vektoren raus. Diese Funktionen heißen lineare Abbildungen.
Definition · Lineare Abbildung
Eine Funktion T: V → W zwischen zwei Vektorräumen heißt linear, wenn:
- Additivität: T(u + v) = T(u) + T(v)
- Homogenität: T(λ·v) = λ·T(v)
Kompakt: T(λu + μv) = λ·T(u) + μ·T(v) für alle u, v ∈ V, λ, μ ∈ K.
Beispiele linearer Abbildungen
- T(x, y) = (2x, 3y): Skalierung. Linear.
- T(x, y) = (y, x): Spiegelung an y = x. Linear.
- T(x, y) = (x + 1, y): Verschiebung. Nicht linear (T(0) ≠ 0).
- T(x) = x²: Nicht linear (T(1+1) = 4 ≠ 2 = T(1) + T(1)).
SchnelltestLinear ⇒ T(0) = 0. Wenn T(0) ≠ 0 → schon nicht linear. Aber Achtung: T(0) = 0 ist notwendig, nicht ausreichend (z.B. T(x) = x² hat T(0) = 0, ist aber nicht linear).