Komposition linearer Abbildungen
Hauptsatz
Sind T: V → W und S: W → U linear, so ist auch S∘T: V → U linear.
Wenn T durch A und S durch B dargestellt wird:
(S∘T)(x) = S(T(x)) = S(Ax) = B(Ax) = (BA)xMatrix der Komposition = Produkt der Matrizen (in umgekehrter Reihenfolge!).
Beispiel · Erst Rotation, dann Spiegelung
R = Rotation 90°, S = Spiegelung an x-Achse. T(x) = S(R(x)).
R = ⎛0 −1⎞ S = ⎛1 0⎞
⎝1 0⎠ ⎝0 −1⎠
S·R = ⎛0 −1⎞
⎝−1 0⎠
Reihenfolge!T zuerst angewendet ⇒ A steht rechts: BA. Allgemein: die Matrix der zuletzt angewendeten Funktion steht links. Und: BA ≠ AB im Allgemeinen — Reihenfolge ist entscheidend!
Inverse Abbildung
Falls T bijektiv (Matrix A invertierbar): T⁻¹ existiert und wird durch A⁻¹ dargestellt. Beispiel: Inverse Rotation um θ ist Rotation um −θ. Und R(−θ) = R(θ)ᵀ — Drehmatrizen sind orthogonal.