Kern & Bild
Definition · Kern (Nullraum)
Für T: V → W:
ker T = { v ∈ V : T(v) = 0 }Alle Vektoren, die T „auf 0 schickt". Immer ein Unterraum von V.
Definition · Bild (Spaltenraum)
Das Bild von T:
im T = { T(v) : v ∈ V } ⊆ WAlle erreichbaren Output-Vektoren. Immer ein Unterraum von W.
Bei Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ
- ker A = Lösungsmenge des homogenen LGS A·x = 0.
- im A = Spaltenraum von A (alle Linearkombinationen der Spalten).
Dimensionsformel · Kern-Bild-Satz
dim(ker A) + dim(im A) = n
(n = Anzahl Spalten von A).
dim(im A) = rang A. dim(ker A) heißt Defekt.
Charakterisierungen
| Eigenschaft | Bedingung |
|---|---|
| T injektiv (1-zu-1) | ker T = {0} |
| T surjektiv (auf) | im T = W |
| T bijektiv (= Isomorphismus) | injektiv + surjektiv |
Quadratisch invertierbarBei A ∈ ℝⁿˣⁿ gilt: A invertierbar ⇔ injektiv ⇔ surjektiv ⇔ bijektiv ⇔ rang A = n ⇔ ker A = {0} ⇔ det A ≠ 0. Alles dasselbe.