Matrix-Darstellung linearer Abbildungen
Hauptsatz
Jede lineare Abbildung T: ℝⁿ → ℝᵐ lässt sich eindeutig durch eine Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿdarstellen, sodass:
T(x) = A · xDie Spalten von A sind die Bilder der Standardbasis-Vektoren:
A = ( T(e₁) | T(e₂) | ... | T(eₙ) )Beispiel · Spiegelung an y-Achse
T(x, y) = (−x, y). Dann:
T(e₁) = T(1, 0) = (−1, 0). T(e₂) = T(0, 1) = (0, 1).
A = ⎛ −1 0 ⎞
⎝ 0 1 ⎠
Probe: A · (3, 5) = (−3, 5). ✓
Wie findet man die Matrix?Wende T auf jeden Standardvektor eᵢ an. Die Resultate als Spalten in eine Matrix schreiben — fertig. Das funktioniert immer.
Beispiel · Drehung um 90°
R(e₁) = R(1, 0) = (0, 1). R(e₂) = R(0, 1) = (−1, 0).
A = ⎛ 0 −1 ⎞
⎝ 1 0 ⎠