Praxis — Computer-Grafik & Klausur
Anwendung 1: 2D-Game-Engine
Spielfigur an Position (x, y). Du willst sie um 30° drehen, dann um 1.5× vergrößern, dann verschieben. Die ersten beiden Operationen sind linear (Matrix R, Matrix S). Verschiebung ist nicht linear, deswegen nutzt Computer-Grafik homogene Koordinaten: Ein 2D-Punkt (x, y) wird zu (x, y, 1), und 3×3-Matrizen können Verschiebungen einbauen.
Anwendung 2: 3D-Renderer
Eine 3D-Szene wird auf einen 2D-Bildschirm projiziert: Modellmatrix · Sichtmatrix · Projektionsmatrix · Vertex. Drei Matrixmultiplikationen für jedes Vertex einer 3D-Modell — Millionen pro Frame. GPU erledigt das parallel.
Aufgabe: Klausur-Klassiker
- T(x, y) = (3x + 2y, −x + y). Bestimme die Darstellungsmatrix in Standardbasis.
Lösung
T(e₁) = T(1, 0) = (3, −1). T(e₂) = T(0, 1) = (2, 1). Also A = ((3, 2), (−1, 1)). - Was passiert geometrisch bei A = ((1, 0), (0, 0))?
Lösung
Projektion auf x-Achse. (3, 5) wird zu (3, 0). det = 0 → nicht invertierbar. ker = y-Achse. im = x-Achse. - T: ℝ³ → ℝ², dim(ker T) = 1. Was ist dim(im T)?
Lösung
Kern-Bild-Satz: 1 + dim(im T) = 3 → dim(im T) = 2 → T ist surjektiv (im T = ℝ²).
MerksatzLineare Abb. erfüllt T(λu + μv) = λT(u) + μT(v).
Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Standardvektoren.
Komposition: Matrixprodukt, Reihenfolge umkehren.
Kern-Bild-Satz: dim(ker) + dim(im) = n.
Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Standardvektoren.
Komposition: Matrixprodukt, Reihenfolge umkehren.
Kern-Bild-Satz: dim(ker) + dim(im) = n.
Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 8 · Skalarprodukt" kommt Geometrie ins Spiel: Winkel, Längen, Orthogonalität.