Formel — algebraisch & geometrisch
Algebraisch
Für u, v ∈ ℝⁿ:
u · v = Σᵢ uᵢ · vᵢ = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙKomponentenweise multiplizieren, alles aufsummieren — fertig.
Beispiel
u = (3, 4, 1), v = (2, −1, 5). u · v = 3·2 + 4·(−1) + 1·5 = 6 − 4 + 5 = 7.
Geometrisch
Für u, v ∈ ℝⁿ mit Winkel θ zwischen beiden:
u · v = |u| · |v| · cos(θ)Notation
- Punkt: u · v (am häufigsten)
- Spitze Klammern: ⟨u, v⟩ (in Mathe oft)
- Matrix-Form: uᵀv (oder vᵀu — gibt dasselbe)
Eigenschaften
| Eigenschaft | Formel |
|---|---|
| Kommutativ | u · v = v · u |
| Distributiv | u · (v + w) = u · v + u · w |
| Skalar herausziehen | (λu) · v = λ(u · v) |
| Norm-Beziehung | v · v = |v|² |
| Positivität | v · v ≥ 0, = 0 nur für v = 0 |
Wichtig: Norm via Skalarprodukt
|v| = √(v · v). Das wird oft genutzt — Skalarprodukt ist die Quelleder euklidischen Geometrie.