Orthogonalprojektion
Stell dir vor: ein Vektor v und eine Gerade in Richtung u. Wo „landet" v, wenn man ihn senkrecht auf die Gerade fallen lässt? Das ist die Orthogonalprojektion.
Formel
Projektion von v auf u (Richtung):
proj_u(v) = ((v · u) / (u · u)) · uFalls u Einheitsvektor (|u| = 1): proj_u(v) = (v · u) · u.
Beispiel
v = (3, 5), u = (1, 0) (x-Achse). proj = ((3·1 + 5·0)/1) · (1, 0) = 3 · (1, 0) = (3, 0).
Geometrisch: man „lässt v auf die x-Achse fallen" — die x-Komponente bleibt.
Allgemeine Bedeutung
Die Projektion zerlegt v in zwei Teile: einen parallel zu u (das ist proj_u(v)) und einen senkrecht dazu (das ist v − proj_u(v)). Die zwei sind orthogonal — das ist der „Orthogonalanteil".
Skalare Projektion
Die Länge der Projektion (mit Vorzeichen):
comp_u(v) = (v · u) / |u|Heißt auch „Skalarprojektion" oder „Komponente von v in Richtung u".
Was nutzt das?Lineare Regression: minimiere Abstand der Datenpunkte zur Modellgeraden = orthogonale Projektion. Computer-Grafik: Schatten = Projektion auf Boden. Physik: Kraftkomponenten in Bewegungsrichtung. Sehr fundamentaler Begriff.