Orthogonalität
Definition · Orthogonal
Zwei Vektoren u, v heißen orthogonal (schreibweise u ⊥ v), wenn:
u · v = 0Geometrisch: sie stehen senkrecht (90°). Konvention: 0 ist zu jedem Vektor orthogonal.
Beispiele
- e₁ = (1, 0) und e₂ = (0, 1) — die Standardbasis ist orthogonal.
- (1, 2) und (2, −1) — Skalarprodukt 1·2 + 2·(−1) = 0. ✓
- (3, 4, 0) und (4, −3, 7) — Skalarprodukt 12 − 12 + 0 = 0. ✓
Orthonormalbasis (ONB)
Eine Basis B = {v₁, ..., vₙ} heißt Orthonormalbasis, wenn:
- vᵢ · vⱼ = 0 für i ≠ j (orthogonal zueinander)
- |vᵢ| = 1 für alle i (normiert)
Beispiel: Standardbasis {e₁, e₂, ..., eₙ} ist eine ONB von ℝⁿ.
Vorteile einer ONB
- Koordinaten direkt: für v ∈ V gilt v = Σ (v · vᵢ) · vᵢ.
- Längen einfach: |v|² = Σ (v · vᵢ)².
- Orthogonale Matrizen Q (Spalten = ONB): Q⁻¹ = Qᵀ.
Gram-Schmidt-VerfahrenAus jeder Basis kann man durch Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis konstruieren — ein wichtiges Verfahren mit vielen Anwendungen (z.B. QR-Zerlegung).