Winkel zwischen Vektoren
Winkelformel
Aus u · v = |u|·|v|·cos(θ) folgt:
cos(θ) = (u · v) / (|u| · |v|)Daraus: θ = arccos((u · v) / (|u|·|v|)).
Beispiel
u = (3, 0), v = (1, 1). |u| = 3, |v| = √2 ≈ 1.414. u · v = 3·1 + 0·1 = 3.
cos θ = 3 / (3·1.414) ≈ 0.707 → θ = 45°.
Vorzeichen-Interpretation
| u · v | cos θ | Winkel | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| > 0 | > 0 | 0° < θ < 90° | spitzer Winkel — „gleiche Seite" |
| = 0 | = 0 | θ = 90° | senkrecht (orthogonal) |
| < 0 | < 0 | 90° < θ < 180° | stumpfer Winkel — „gegenüber" |
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
|u · v| ≤ |u| · |v| — folgt aus |cos θ| ≤ 1. Gleichheit nur, wenn u und v parallel sind. Eine der wichtigsten Ungleichungen der Mathematik!