Praxis — Physik & Klausur

Anwendung 1: Arbeit als Skalarprodukt (Physik)

Eine Kraft F wirkt entlang einer Verschiebung s. Die geleistete Arbeit ist:

Wenn F senkrecht zu s (θ = 90°): W = 0 — keine Arbeit. Das erklärt, warum z.B. die Erdgravitation an einem horizontal bewegten Objekt keine Arbeit verrichtet.

Anwendung 2: Cosinus-Ähnlichkeit (Machine Learning, NLP)

Zwei Texte als Wortvektoren u, v. Cosinus-Ähnlichkeit:

Liegt zwischen −1 und 1. Nahe 1: ähnliche Texte. Nahe 0: unkorrelierte Texte. Nahe −1: gegensätzliche Themen. Grundlage für Suchmaschinen, Empfehlungssysteme, Word Embeddings.

Aufgabe: Klausur-Klassiker

1. u = (1, 2, 2). Bestimme |u| mittels u · u.
   Lösung

   u · u = 1 + 4 + 4 = 9. |u| = √9 = 3. Magic-Norm-Tripel!
2. Welcher Winkel zwischen (1, 0, 0) und (1, 1, 0)?
   Lösung

   Skalarprodukt = 1. Längen: 1 und √2. cos θ = 1/√2 → θ = 45°.
3. Projiziere v = (3, 4) auf u = (1, 0).
   Lösung

   proj = ((3·1+4·0)/(1·1+0·0)) · (1, 0) = 3 · (1, 0) = (3, 0).
4. Stimmt es: (u + v) · (u − v) = |u|² − |v|²?
   Lösung

   Rechne aus: u·u − u·v + v·u − v·v = u·u − v·v = |u|² − |v|². ✓ Binomische Formel für Vektoren!

Geschafft! Im nächsten Kurs „LinAlg 9 · Eigenwerte" kommt eines der spannendsten Konzepte: welche Vektoren werden von einer Matrix nur skaliert, nicht gedreht?