Was ist das Skalarprodukt?
Bisher: Vektoren addieren und mit Skalaren multiplizieren. Aber zwei Vektoren direktmiteinander multiplizieren? Es gibt mehrere Möglichkeiten. Die häufigste und wichtigste ist das Skalarprodukt (auch: Punktprodukt, inneres Produkt). Sein Resultat ist eine Zahl (= Skalar) — daher der Name.
Das Skalarprodukt verknüpft die abstrakte Algebra mit der Geometrie: aus zwei Vektoren wird eine Zahl, die sagt, wie sehr sie „in dieselbe Richtung zeigen". Es liefert Längen, Winkel, Orthogonalität, Projektionen — kurz: alles Geometrische.
Schlüssel-FormelnAlgebraisch:
Geometrisch:
Beide Formeln sind gleichwertig — eine Verbindung Algebra ↔ Geometrie.
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙGeometrisch:
u · v = |u|·|v|·cos(θ)Beide Formeln sind gleichwertig — eine Verbindung Algebra ↔ Geometrie.