Lebesgue-Integral — die Verallgemeinerung
Riemann zerlegt den Definitionsbereich. Lebesgue zerlegt den Wertebereich. Diese Idee löst viele Probleme.
Konstruktion in 4 Stufen
- Indikatorfunktion: ∫ χ_A dμ = μ(A).
- Einfache Funktion: f = Σ aᵢ χ_(Aᵢ) → ∫ f dμ = Σ aᵢ · μ(Aᵢ).
- Nicht-negativ messbar: ∫ f dμ = sup {∫ φ dμ : 0 ≤ φ ≤ f, φ einfach}.
- Allgemein: f = f⁺ - f⁻, ∫ f dμ = ∫ f⁺ dμ - ∫ f⁻ dμ (wenn beide endlich).
Vorteile gegenüber Riemann
- Mehr Funktionen sind integrierbar (z. B. Dirichlet-Funktion = 0 auf Lebesgue, Riemann-nicht-integrierbar).
- Bessere Konvergenzsätze (monoton, dominiert) — Vertauschung lim/∫ einfacher.
- Funktionsräume L¹, L² werden Banach-/Hilberträume.
- Integration auf abstrakten Maßräumen — Wahrscheinlichkeit, Spektralintegral etc.
Riemann ⊆ Lebesgue: Jede Riemann-integrable Funktion auf [a, b] ist Lebesgue-integrabel mit gleichem Wert. Aber nicht umgekehrt.