Praxis — Klausur-Aufgaben

1. 1) σ-Algebra prüfen. Ist {∅, {1}, {2,3}, {1,2,3}} eine σ-Algebra über X = {1,2,3}?
   Lösung: Komplement von {1} = {2,3} ✓. Vereinigung {1}∪{2,3} = {1,2,3} ✓. Ja, σ-Algebra.
2. 2) Lebesgue-Maß. Berechne λ([0,3] ∪ [5,9] ∪ {1,2,3,...}).
   Lösung: 3 + 4 + 0 = 7. Abzählbare Menge hat Maß 0.
3. 3) Dirichlet. Lebesgue-Integral von χ_ℚ auf [0, 1].
   Lösung: ∫ χ_ℚ dλ = λ(ℚ ∩ [0,1]) = 0.
4. 4) Monotone Konvergenz. Berechne lim_(n→∞) ∫₀^∞ (1 + x/n)⁻ⁿ · sin(x/n) dx.
   Lösung: Punktweise (1 + x/n)⁻ⁿ → e⁻ˣ, sin(x/n) → 0. Integrand → 0. Falls Majorante existiert: Limit = 0.
5. 5) Dominierte Konvergenz. Berechne lim ∫₀¹ nx/(1 + n²x²) dx.
   Lösung:Punktweise → 0 (für x > 0). Aber kein dominierter Konvergenzsatz möglich (kein L¹-Majorant). Tatsächliches Limit: 0 (durch Substitution u=nx).
6. 6) Vergleich. Eine Funktion f: [0,1] → ℝ ist messbar mit λ({f > 0}) = 0. Was folgt für ∫f?
   Lösung: f = 0 fast überall, also ∫ f dλ = 0.
7. 7) Cantor-Menge. Konstruiere die Cantor-Menge C ⊆ [0,1] und zeige λ(C) = 0.
   Lösung: In jedem Schritt entfernen wir mittlere Drittel. Nach n Schritten: 2ⁿ Stücke der Länge 3⁻ⁿ. Maß = (2/3)ⁿ → 0.